Introductory Lecture Series (4 hours each):

Marco Andreatta (Trento)
Title: Families of rational curves which determine the structure of the (projective) space
Abstract: The four lectures will have the following subtitles/arguments:
1) Hilbert Scheme of rational curves. Existence of rational curves on  Fano manifolds.
2) Families of rational curves. Tangent map.
3) Characterization of P^n: Mori's theorem and some generalization.
4) Rational curves on Symplectic manifolds.

Olivier Debarre (ENS)
Title: Rational curves on hypersurfaces 
Abstract: In the past few decades, it has become more and more obvious that rational curves are the primary player in the study of the birational geometry of projective varieties. Studying rational curves on algebraic varieties is actually a very old subject which started in the nineteenth century with the study of lines on hypersurfaces in the projective space. 
 In these lectures, we review results on rational curves on hypersurfaces, some classical, some more recent, briefly introducing along the way tools such as Schubert calculus and Chern classes. We end with a discussion of ongoing research on the moduli space of rational curves of fixed degree on a general hypersurface. 

Advanced Research Talks:

Cinzia Casagrande (Torino) 
Title: Constructing families of minimal rational curves with singular Variety of Minimal Rational Tangents
Abstract: We will describe examples of a smooth projective variety X and a minimal dominating family V of rational curves in X, such that the VMRT of V at the general point of X is singular.After a brief introduction, in the first part of the talk we will explain the geometry of the relative Hilbert scheme H of the projection of a smooth projective hypersurface from a (general) point.In the second part of the talk we will introduce the variety X and construct the family V. The variety V_x, parametrising curves of the family V through a general point x, turns out to be isomorphic to a relative Hilbert scheme H as above. We will explain how the geometry of H allows to deduce properties of the tangent map from V_x to the VMRT, and hence to show that the VMRT is singular.This is a joint work with St?phane Druel (Grenoble).

Andreas Hoering (Nice)
Title: Numerical characterization of quadrics
Abstract: Projective spaces and quadrics are the most basic examples of projective manifolds and they can be characterized in many different ways. For example a classical theorem of Kobayashi-Ochiai says that n-dimensional quadrics (resp. projective spaces) are the only Fano manifolds such that the anticanonical divisor is divisible by n (resp. n+1) in the Picard group. In this talk I will present a generalization of this result: if X is an n-dimensional Fano manifold such that  -K_X has degree at least n on every curve, then X is a projective space or quadric. 
The proof of this result is based on studying certain rational curves on X. I will  therefore start by discussing the geometry of lines and conics on quadrics, then explain how to translate this in an abstract setting. 

Hosung Kim (NIMS)
Title:  When are minimal rational curves determined by their tangent directions?  
Abstract: In this talk, we will give an example of Fano manifold with Picard number 1, whose variety of minimal rational tangents at a general point is singular and has injective normalization morphism. To do this, we will introduce  some conditions for minimal rational curves to be determined by their tangent directions. 

Gianluca Occhetta (Trento)
Title: Flag manifolds, Fano manifolds whose contractions are P^1  fibrations and Campana-Peternell conjecture
Abstract: In the first part of the talk I'll introduce the variety of complete flags of linear subspaces of a projective space, with particular emphasis on its fibrations and on the families of minimal rational curves (and their chains) on it. I'll then describe rank 2 generalized flag manifolds, and explain how they can be characterized as Fano manifolds of Picard number two with two  P^1-fibrations.
 In the second part of the talk I'll present a proof that every Fano manifold whose elementary contractions are P^1 fibrations is rational homogeneous and how this result fits in the framework of a conjecture of Campana and Peternell, which predicts that every Fano manifold with nef tangent bundle is rational homogeneous. 

 

Organized by Jun-Muk Hwang (KIAS)
Supported by KIAS and NRF (National Researcher Program)